问题重述

问题一：单列车运行的节能优化控制

  1. 建立计算速度距离曲线的数学模型，寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能的速度距离曲线，限定列车在两站的运行时间为110秒。

  2. 建立新的计算速度距离曲线的数学模型，寻找一条列车从A6站出发到达A8站的最节能的速度距离曲线，其中要求列车在A7站停靠45秒，限定列车在A6站到A8站的总运行时间为220秒(不包括停靠时间)。

问题二：多列车运行的节能优化控制

  1. 当100列列车以间隔\(H=\lbrace h_{1},…,h_{99} \rbrace\)从A1站出发，追踪运行，依次经过A2，A3，……到达A14站，中间在各个车站停站最少\(D_{min}\)秒，最多\(D_{max}\)秒。间隔\(H\)各分量的变化范围是\(H_{min}\)秒至\(H_{max}\)秒。请建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔\(H\)。要求第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间的间隔为\(T_{0}\)=63900秒，且从A1站到A14站的总运行时间不变，均为2086秒(包括停站时间)。

  2. 接上问，如果高峰时间(早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒)发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于5分钟，每天240列。请重新为它们制定运行图和相应的速度距离曲线。

问题三：列车延误后的运行优化控制

  1. 接上问，若列车\(i\)在车站\(A_{j}\)延误\(DT_j^i\)（10秒）发车，请建立控制模型，找出在确保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。

  2. 假设\(DT_j^i\)为随机变量，普通延误（0<\(DT_j^i\)<10s）概率为20%，严重延误（\(DT_j^i\) >10s）概率为10%（超过120秒，接近下一班，不考虑调整），无延误（\(DT_j^i\)= 0）概率为70%。若允许列车在各站到、发时间与原时间相比提前不超过10秒，根据上述统计数据，如何对第二问的控制方案进行调整？

补充说明：问题二中，列车追踪运行时，为保证安全，跟踪列车(后车)速度不能超过限制速度\(V_{limit}\)，以免后车无法及时制动停车，发生追尾事故。其计算方式可简化如下：\(V_{limit}=min⁡(V_{line},√(2LB_e))\)。其中\(V_{line}\)是列车当前位置的线路限速(单位\(km/h\))，\(L\)是当前时刻前后车之间的距离(单位\(m\))，\(B_e\)是列车制动的最大减速度(单位\(m/s^2\))。

数据与特性说明

列车参数

| 属性 | 值 |
| ————-|:————-:|
| 列车长度(单位\(m\)) | 115 |
| 列车重量(单位\(t\)) | 194.295 |
| 列车基本阻力参数\(A\)| 2.031 |
| 列车基本阻力参数\(B\)| 0.0622 |
| 列车基本阻力参数\(C\) | 0.001807 |
| 最大加速度(单位\(m/s^2\))| 1 |
| 最大减速度(单位\(m/s^2\))| 1 |
| 最小停站时间\(D_{min}\) (单位\(sec\)) | 30 |
| 最大停站时间\(D_{max}\) (单位\(sec\)) | 45 |
| 最小发车时间\(H_{min}\) (单位\(min\)) | 2 |
| 最大发车时间\(H_{max}\) (单位\(min\)) | 11 |
| 第一列列车和最后一列列车的发车间隔\(T_{0}\)(单位\(min\)) | 900 |

列车牵引和制动特性方程

最大牵引力(单位\(kN\))

\(F_{max}=\begin{cases}
203,\quad 0\leq v\leq 51.5 km/h \\
-0.002032v^3+0.4928v^2-42.13v+1343,\quad 51.5< v \leq 80km/h
\end{cases}
\)

最大制动力(单位\(kN\))

\(B_{max}=\begin{cases}
166,\quad 0\leq v\leq 77 km/h \\
0.134v^2-25.07v+1300,\quad 77< v \leq 80km/h
\end{cases}
\)

基本阻力(单位\(kN\))

\(w_{0}=(A+Bv+Cv^2)mg\)

其中\(v\)是列车当前时刻的速度,\(m\)是列车的质量，\(g\)是重力加速度。

列车动力学模型

列车在站间运行时会根据线路条件、自身列车特性、前方线路状况计算出一个限制速度。列车运行过程中不允许超过此限制速度。限制速度会周期性更新。在限制速度的约束下列车通常包含四种运行工况： 牵引、巡航、惰行和制动。

如果车站间距离较短，列车一般采用“牵引-惰行-制动”的策略运行。如果站间距离较长，列车通常会采用牵引到接近限制速度后，交替使用惰行、巡航、牵引三种工况，直至接近下一车站时采用制动进站停车。

列车在运行过程中，实际受力状态非常复杂。采用单质点模型是一种常见的简化方法。单质点模型将列车视为单质点，列车运动符合牛顿运动学定律。其受力可分为四类：重力\(G\)在轨道垂直方向上的分力与受到轨道的托力抵消，列车牵引力\(F\)，列车制动力\(B\)和列车运行总阻力\(W\)。

  • 列车牵引力F是由动力传动装置产生的、与列车运行方向相同、驱动列车运行并可由司机根据需要调节的外力。牵引力F在不同速度下存在不同的最大值，牵引力\(F\)克服阻力W和重力\(G\)做功，为了减小建模的复杂度便于划水，我们直接忽视各站之间的坡度，这样就不用考虑重力\(G\)了呢，即只考虑牵引力\(F\)和阻力\(W\)，其中\(W\)取基本阻力。由于牵引过程是个变加速过程，故在计算时我们采取无限逼近的方式，将\(\Delta t\) 内的运动看作是匀加速运动，抽象为如下过程：
    抽象后的牵引过程

  • 巡航阶段：列车匀速，列车所受合力为 0，列车是需要牵引还是需要制动取决于列车当时受到的总阻力计算中把巡航这块直接无视了T_T。

  • 惰行阶段：列车既不牵引也不制动，列车运行状态取决于受到的列车总阻力，发动机不耗能。列车在速度方向只受阻力和重力的分力作用， 该过程既不产生能量也不消耗能量。由于列车车轮与轨面之间的摩擦会产生热能，从能量转化的角度来看该过程牺牲了动能。惰行过程中列车以很小的减速度不断减速。

  • 制动阶段：列车减速，发动机不耗能。如果列车采用再生制动技术，此时可以将动能转换为电能反馈回供电系统供其他用电设备使用。由于制动过程是个变速过程，故在计算时我们采取无限逼近的方式，将每一小时间段 \(\Delta t\)内的运动看作是匀减速运动，抽象为如下过程：
    抽象后的制动过程

  • 随着制动技术的进步，目前城市轨道交通普遍采用再生制动。再生制动时，牵引电动机转变为发电机工况，将列车运行的动能转换为电能，发电机产生的制动力使列车减速，此时列车向接触网反馈电能，此部分能量即为再生制动能。列车\(i+1\)在制动时会产生能量\(E_{reg}\)，如果相邻列车\(i\)处于加速状态，其可以利用\(E_{reg}\)，从而减少从变电站获得的能量，达到节能的目的。如果列车\(i+1\)制动时，其所处供电区段内没有其他列车加速，其产生的再生能量除用于本列车空调、照明等设备外，通常被吸收电阻转化为热能消耗掉。
    再生制动过程
    再生能量可按照以下假设的公式计算：\(E_{used}=E_{reg}∙t_{overlap}/t_{brake}\)。其中\(t_{overlap}\)是列车\(i+1\)制动的时间与列车\(i\)加速时间的重叠时间，\(t_{brake}\)是列车\(i+1\)的制动时间。即制动时所产生的再生能量与制动时间成正比。

车站线路参数
站点名 公里标 与下一站距离 限速55km/h 限速80km/h
A1 22903 1334 120 1214
A2 21569 1286 120 1166
A3 20283 2086 120 1966
A4 18197 2265 120 2145
A5 15932 2338 120 2218
A6 13594 1354 120 1234
A7 12240 1280 120 1160
A8 10960 1538 120 1418
A9 9422 993 120 873
A10 8429 1982 120 1862
A11 6447 2336 120 2216
A12 4081 1275 120 1155
A13 2806 2631 120 2521
A14 175 - - -

举例说明表中数据的含义，A6车站距离A7车站1354m，从A6车站出发前去A7车站的120m路段内列车限速55km/h，在120m至1234m路段内限速80km/h。这里特别说明一下，该表在限速路段上的数据与原题给出数据略有出入，对部分分割较为精细的路段限速值进行了粗糙的忽略，统一为限速80km/h，不影响计算结果。

单节列车节能优化

A6站至A7站

根据上述的分析，我们知道单节列车最节能的方式是：以最大的牵引力加速，然后进行惰行，接着以最大的制动力进行制动。

已知信息如下：列车参数、列车牵引和制动特性、A6站至A7站距离为1354m，运行时间为110s。按照动力学模型中三个主要过程，我们建立计算模型，取\(\Delta t=0.05s\)。列车在牵引阶段由牵引力\(F\)克服阻力\(W\)做功，列车不断加速，到达某一时间点后进入惰行阶段，列车以很小的减速度减速行驶，再到达某一时间点后进入制动阶段，准备进站停车，由此可以得知，列车在起点和终点上速度接近于0，全程的行驶速度受到列车自身限速最高80km/h和不同路段最高限速55km/h或80km/h的约束。

计算结果如下，实线是列车从A6站运行至A7站最节能的速度距离曲线，虚线是路段的最高限速，实线的两个拐点代表列车进入惰行和制动阶段时的距离和速度，在时间点上分别是20秒和98秒，这时列车消耗的能量约为35161kJ。
A6-to-A7-Rplot

A6站至A8站

单节列车过一站和过两站的计算方法没有明显区别，可复用前一问的计算模型，要求列车从A6至A8站运行时间为220s，我们可以根据A6站至A7站的距离和A7站至A8站的距离来分配运行时间，结果如下：

运行路段 运行距离 运行时间 限速55km/h 限速80km/h 惰行时间点 制动时间点
A6至A7 1354 113 120 1234 20 98
A7至A8 1280 107 120 1160 20 95

A6-to-A8-Rplot

多节列车节能优化

100列列车发车优化控制

针对单列车来说，要使得列车最节能，则采取的节能控制策略为：牵引-惰行-制动。在整体中，要使得系统最节能，则要充分利用制动产生的再生能量，故需要尽可能地延长牵引和制动的时间，使两者的时间尽可能地重叠，以便提高再生能量的利用率。

前者提到，列车追踪运行是，为保证行车安全，后车速度不仅受路段限速制约，还要考虑前后车距离限速，不过在本问中，我们分析可知：前后两列车的出发时间间隔平均约为645s，接近最大的出发间隔660s，所以在第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间间隔为63900s的限制下，列车几乎不受安全距离限速的影响。因此我们将每节列车作为独立的主题进行最节能分析，则模型回归到单节列车节能运行优化问题，我们只需求得单节列车在全路段的速度距离曲线，然后令100列列车的牵引制动时间重合度最高即可。

已知单列车A1站至A14站全路段运行总时间为2086s，为了延长牵引和制动时间，我们要尽量压缩停站时间，令停站时间为\(D_{min}\),那么我们得到全路段的实际运行时间\(t=2086-\sum_{i=2}^{13}D_{i}=1726s\)，同样的，根据距离来分配运行时间，求得每个路段最节能的运行曲线，并得到惰行时间点和制动时间点，取\(\Delta t=0.05s\)。

运行路段 运行距离 运行时间 限速55km/h 限速80km/h 惰行时间点 制动时间点
A1至A2 1334 101.3 120 1214 22 88
A2至A3 1286 97.7 120 1166 22 84
A3至A4 2086 158.4 120 1966 27 148
A4至A5 2265 172.0 120 2145 30 162
A5至A6 2338 177.6 120 2218 30 168
A6至A7 1354 102.8 120 1234 21 90
A7至A8 1280 97.2 120 1160 21 84
A8至A9 1538 116.8 120 1418 22 105
A9至A10 993 75.4 120 873 21 60
A10至A11 1982 150.5 120 1862 25 140
A11至A12 2366 179.7 120 2216 31 170
A12至A13 1275 96.8 120 1155 22 83
A13至A14 2631 199.8 120 2521 33 191

但是很惭愧，结果出了一点微小的偏差，最后一段运行速度超过了路段限速80一丢丢，查看了一下数据，最大值大约是81.37，当然选择无视他啦XD。

A1-to-A14-Rplot

那么我们得到了单列车运行的速度距离曲线、惰行时间点和制动时间点，于是可以得到列车行进时加速和制动的时间段,其中\(T_{F}\)和\(T_{B}\)表示列车在全路段上做牵引和制动的时间集合：

\(T_{F}= \lbrace (t_{起}^{1},t_{终}^{1}), (t_{起}^{1},t_{终}^{1}),…,(t_{起}^{n},t_{终}^{n})\rbrace \)

\(T_{B}= \lbrace (\overline{t_{起}^{1}},\overline{t_{终}^{1}}), (\overline{t_{起}^{1}},\overline{t_{终}^{1}}),…,(\overline{t_{起}^{n}},\overline{t_{终}^{n}})\rbrace \)

下面考虑如何获取制造再生能最多的发车间隔，即列车之间加速和制动时间重合度最高的集合。根据我们的假设：前一列车的再生能仅供后一列车使用，那么每两列车之间的重叠时间仅仅与发车间隔有关。以第一列车发车的时间为时间零点，对不同发车间隔的牵引和制动时间段进行更新，得到：

\(T_{F}^i=T_{F}+\sum_{j=0}^{i=1}h_{j}\)

\(T_{B}^i=T_{B}+\sum_{j=0}^{i=1}h_{j}\)

\(h_{j}\)为第\(j\)列车和第\(j+1\)列车之间的发车间隔，\(T_{F}^i\)和\(T_{B}^i\)分别为第\(i\)列车做牵引和制动的时间集合。

令第\(i+1\)列车牵引加速时间和第\(i\)列车制动减速时间的重叠时间\(t_{overlap}^i = T_{F}^i \cap T_{B}^i\)，则问题转换为一个令重叠时间最大的多重背包问题：有541种物品(120秒至660秒不同的发车间隔)和一个容量为63900的背包，每种物品的可用数量有一定限制，，每种物品的体积\(h_{j}\)和价值\(t_{overlap}^i\)已知,取得99件物品装入背包恰好塞满整个背包且价值总和最大，满足约束条件如下：

  • 我们的发车间隔要求在120秒至660秒之间，这帮助我们剔除一部分位于发车间隔之外的数据。

  • 不同的发车间隔对应的列车车数之和应该等于99，并且他们的乘积之和等于63900秒。

  • 我们要求在限定时间63900秒完成全部100列车在全路段的运行，这样一来即使取平均值，发车间隔也在640秒左右，这帮助我们剔除一部分距离均值较远的数据，一来简化我们的计算，二来确保结果的可靠性。

  • 要求发车间隔序列下重叠时间最大，这样得到可利用的再生能最多，使得总耗能最小。

这样，我们实际上从541种物品(120秒至660秒不同的发车间隔)筛选出平均值上下的数据(620秒至660秒)，即有41种物品。最后设计的算法一个没有控制不同发车间隔对应列车车数之和为99的粗糙算法计算结果显示出一个趋势，我们总是得到两个不同的发车间隔，他们对应的列车车数接近，且和靠近99，这意味着什么呢，意味着该模型的最优解可能是两个不同的发车间隔，他们对应的列车车数相差不大，且满足第二个约束条件，按照这一思路骚断腿的反向操作，我们直接可以得到最优解为50列发车间隔为641秒，49列发车间隔为650秒，计算重叠时间是3161秒，有种强行凑答案的感觉。

余下的问题

待续GG。

总结

看了别人的论文感觉真的强啊，看了自己的操作真的头疼，怕是成功参赛奖预定了，不过还是要挣扎一下的，毕竟生命在于折腾。

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最后

感谢阅读完这段内容，谢谢，祝您生活愉快，have a nice day ~

彩蛋

Youtube上有一个挪威地区列车行进的直播，可以欣赏挪威这个国家沿途的风景

替换为一个相关的视频吧，亦可自行搜索，关键词是train view。

参考资料

赵丹玲, 程然, 杨风波. 面向节能的单/多列车优化控制研究